La célèbre suite du mathématicien italien Fibonacci

calcul des termes de la suite - propriétés de la suite - démonstration que ( $F_{n + 1}$ / $F_{n}$ ) tend vers le nombre d'or

La suite de Fibonacci tient son nom du mathématicien italien Leonardo Fibonacci, qui a vécu au XIII^e siècle (vers 1170 – vers 1250). Il est né à Pise, d'où son nom de Léonard de Pise. Il présente cette suite dans son livre Liber abaci (1202).

La suite de Fibonacci se construit facilement : chaque terme de la suite, à partir du rang 2, s'obtient en additionnant les deux précédents, les deux premiers termes étant 0 et 1. Le troisième terme est donc 1 (0 + 1 = 1), le quatrième terme 2 (1 + 1 = 2), le cinquième 3 (1 + 2 = 3), le sixième 5 (2 + 3 = 5), et ainsi de suite.

Le début de la suite du célèbre mathématicien Fibonacci est donc : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

Appelons ( $F_{n}$ ) la suite de Fibonacci. On a donc $F_{0}$ = 0 ; $F_{1}$ = 1 et pour tout n entier naturel,

on a alors $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ .

Chaque terme de cette suite, à partir du rang 2, est donc la somme des deux termes précédents.

La suite de Fibonacci n'est ni arithmétique, ni géométrique

En effet, $F_{1}$ − $F_{0}$ = 1 − 0 = 1 et $F_{2}$ − $F_{1}$ = 1 − 1 = 0. La différence entre deux termes consécutifs de cette suite n'est pas constante donc la suite de Fibonacci n'est pas arithmétique.

Son premier terme étant 0, elle ne peut être géométrique. On remarque également par exemple que $\frac{F_{4}}{F_{3}} = \frac{3}{2}$ et que $\frac{F_{5}}{F_{4}} = \frac{5}{3}$ . En définissant une suite en prenant les termes de la suite de Fibonacci à partir du terme de rang 2, on obtient donc une suite qui n'est pas géométrique : le rapport entre 2 termes consécutifs de cette suite n'est pas constant.

Calcul des termes de la suite de Fibonacci

En calculant les termes de la suite, on constate que les termes de la suite de Fibonacci sont très rapidement élevés. En effet, voici les 52 premiers termes que l'on peut obtenir facilement avec un tableur comme Excel :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049, 12586269025, 20365011074.

Le 52^e terme de la suite de Fibonacci, qui correspond à n = 51, est égal à 20 365 011 074 ; ce terme est composé de 11 chiffres et il se décompose en facteurs premiers comme suit : 2 × 1597 × 6376021.

Les termes deviennent vite très grands : pour les calculer, il faut un programme capable de manipuler de grands entiers.

Voici des termes de la suite de Fibonacci que l'on peut obtenir assez rapidement avec un algorithme en C.

$F_{100}$ = 354224848179261915075.

$F_{476}$ = 1344719667586153181419716641724567886890850696275767987106294472017884974410332069524504824747437757 comporte lui 100 chiffres.

$F_{1000}$ =

4346655768693745643568852767504062580256466051737178040248172908953655541794 905189040387984007925516929592259308032263477520968962323987332247116164299644090653318 7938298969649928516003704476137795166849228875 : quant à celui-ci, je vous laisse le plaisir de compter ses chiffres.

Le premier terme de la suite à être composé de 1000 chiffres est $F_{4782}$ .

Le terme F₄₇₈₂ de la suite de Fibonacci, premier terme à 1 000 chiffres

Soit F=( $F_{n}$ ) la suite de Fibonacci. On a donc $F_{0}$ = 0 et $F_{1}$ = 1 et pour tout n ≥ 1, $F_{n + 1}$ = $F_{n}$ + $F_{n - 1}$ .

Vous pouvez aussi calculer directement un terme de la suite, même très grand :

La suite de Fibonacci possède les propriétés suivantes

Pour tout n ≥ 1, $F_{n + 1} = F_{n} + F_{n - 1}$ ou encore $F_{n} = F_{n + 1} - F_{n - 1}$ .

La somme de 10 termes consécutifs de la suite de Fibonacci est égale au produit du septième terme par 11 :
$F_{n} + F_{n + 1} + F_{n + 2}$ + ... ... + $F_{n + 9} = 11 \times F_{n + 6}$ .

En effet, si l'on pose : $F_{n} = x$ et $F_{n + 1} = y$ .

On obtient ensuite :

$F_{n + 2} = x + y$ ;

$F_{n + 3} = x + 2 y$ ;

$F_{n + 4} = 2 x + 3 y$ ;

$F_{n + 5} = 3 x + 5 y$ ;

$F_{n + 6} = 5 x + 8 y$ ;

$F_{n + 7} = 8 x + 13 y$ ;

$F_{n + 8} = 13 x + 21 y$ ;

$F_{n + 9} = 21 x + 34 y$ .

$F_{n} + F_{n + 1} + F_{n + 2}$ + ... ... + $F_{n + 9}$ = $55 x + 88 y$ = $11 (5 x + 8 y)$ = $11 \times F_{n + 6}$ .

Le terme de rang (n+2) de la suite de Fibonacci est égal à la somme des (n+1) premiers termes de cette suite, à laquelle nous ajoutons 1. C'est-à-dire : $F_{n + 2} = F_{0} + F_{1} + F_{2} + \dots + F_{n} + 1$ .

Démonstration par récurrence de $F_{n + 2}$ = $F_{0} + F_{1} + F_{2} +$ ... $+ F_{n} + 1$ .

On pose : S_n = $F_{0} + F_{1} + F_{2} + \dots + F_{n} + 1$ pour n ≥ 2.

Soit P_n la proposition S_n = $F_{n + 2}$ pour n ≥ 2.

Initialisation

Pour n = 2 :

S₂ = $F_{0} + F_{1} + F_{2} + 1 = 0 + 1 + 1 + 1 = 3$ et $F_{2 + 2} = F_{4} = F_{2} + F_{3} = 1 + 2 = 3$ donc P_n est vraie pour n = 2.

Hérédité

On suppose que, pour un entier n ≥ 2, P_n est vraie, soit S_n = $F_{n + 2}$ .

S_n+1 = $F_{0}$ + $F_{1}$ + $F_{2}$ + ... + $F_{n}$ + $F_{n + 1}$ + 1 ;

S_n+1 = $F_{0}$ + $F_{1}$ + $F_{2}$ + ... + $F_{n}$ + 1 + $F_{n + 1}$ ;

S_n+1 = S_n + $F_{n + 1}$ ;

S_n+1 = $F_{n + 2}$ + $F_{n + 1}$ ;

S_n+1 = $F_{n + 3}$ ;

S_n+1 = $F_{(n + 1) + 2}$ ;

donc P_n+1 est encore vraie.

D’où, d’après le raisonnement par récurrence, pour tout n ≥ 2, F₀ + F₁ + F₂ + … + F_n + 1 = F_n+2.

La somme des (n+1) premiers termes de rang pair et du terme de rang 1 de la suite de Fibonacci est égale au terme de rang (2n+1) de la suite de Fibonacci : $F_{0} + F_{1} + F_{2} + F_{4} + F_{6} +$ ... $+ F_{2 n} = F_{2 n + 1}$ .

Démonstration par récurrence de $F_{0} + F_{1} + F_{2} + F_{4} + F_{6} +$ ... $+ F_{2 n}$ = $F_{2 n + 1}$ .

On pose : S_n = $F_{0}$ + $F_{1}$ + $F_{2}$ + $F_{4}$ + $F_{6}$ +... + $F_{2 n}$ pour n ≥ 1.

Soit P_n la proposition S_n = $F_{2 n + 1}$ pour n ≥ 1.

Initialisation

Pour n = 1 :
S₁ = $F_{0}$ + $F_{1}$ + $F_{2}$ = 0 + 1 + 1 = 2 et $F_{2 \times 1 + 1} = F_{3}$ = $F_{1}$ + $F_{2}$ = 2 donc P_n est vraie pour n = 1.

Hérédité

On suppose que, pour un entier n ≥ 1, P_n est vraie, soit S_n = $F_{2 n + 1}$ .

S_n+1 = $F_{0}$ + $F_{1}$ + $F_{2}$ + $F_{4}$ + $F_{6}$ + $\dots$ + $F_{2 n}$ + $F_{2 n + 2}$ ;

S_n+1 = $F_{2 n + 1}$ + $F_{2 n + 2}$ ;

S_n+1 = $F_{2 n + 3}$ ;

S_n+1 = $F_{2 (n + 1) + 1}$ ;

donc P_n+1 est encore vraie.

D’où, d’après le raisonnement par récurrence, pour tout n ≥ 1, $F_{0} + F_{1} + F_{2} + F_{4} + F_{6} +$ ... $+ F_{2 n} = F_{2 n + 1}$ .

La somme des carrés de 2 termes consécutifs de rang n et (n+1) de la suite de Fibonacci est égale au terme de rang (2n+1) : $F_{n}^{2} + F_{n + 1}^{2} = F_{2 n + 1}$ .

Pour tout entier naturel n différent de 4, si $F_{n}$ est premier, alors n est premier.

La réciproque est fausse. Par exemple, 19 est premier mais $F_{19}$ = 4181 = 37 × 113 est composé.

Par contraposée, si n est différent de 4 et n'est pas premier, alors $F_{n}$ n'est pas premier. Ce résultat est intéressant pour rechercher les termes de la suite de Fibonacci qui sont premiers : il suffit de regarder les termes de rang premier (et $F_{4}$ = 3).

Montrons que ( $F_{n + 1}$ / $F_{n}$ ) tend vers le nombre d'or $Φ (Φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Soit E l'ensemble des suites ( $F_{n}$ ) qui vérifient la relation suivante :

$F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ .

Nous admettons que E est un ensemble stable, c'est-à-dire que pour toutes suites (a_n) et (b_n) de l'ensemble E, la suite (s_n), définie par s_n = λa_n + µb_n, λ et µ réels, est aussi une suite de l'ensemble E.

Cherchons les suites géométriques (a_n) de raison q définies, pour tout entier n, par a_n = a₀qⁿ, qui appartiennent à E, c'est-à-dire que pour tout entier n : a_n+2 = a_n+1 + a_n.

On a donc : a_n+2 = a_n+1 + a_n.

D'où : a₀qⁿ⁺² = a₀qⁿ⁺¹ +a₀qⁿ.

Et donc : a₀qⁿ (q² − q − 1) = 0.

On a alors : a₀= 0 ou qⁿ = 0 ou (q² − q − 1) = 0.

C'est-à-dire a₀= 0 ou q = 0 ou (q² − q − 1) = 0.

Si a₀ = 0 ou si q = 0, alors la suite (a_n) est nulle.

On suppose donc a₀ ≠ 0 et q ≠ 0.

On a alors : q² − q − 1 = 0.

Les solutions de cette équation du second degré sont : (1 − √5)/2 et (1 + √5)/2.

On note : q₁ = (1 − √5)/2 et q₂ = (1 + √5)/2.

On peut remarquer que q₂ est le nombre d'or $Φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

On peut ainsi définir deux suites géométriques (a_n) et (b_n) de E telles que :

a_n = a₀ [ (1 − √5)/2]ⁿ et b_n = b₀ [ (1 +√5)/2]ⁿ avec a₀ = b₀ = 1.

On a : $a_{n} = {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n} = q_{1}^{n}$ et $b_{n} = {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} = q_{2}^{n}$ .

De là, la suite ( $F_{n}$ ), définie par $F_{n}$ = λa_n + µb_n, pour tout entier n et pour tous réels λ et µ, appartient elle aussi à E et vérifie donc la relation : $F_{n + 2}$ = $F_{n + 1}$ + $F_{n}$ .

Déterminons les valeurs de λ et µ telles que $F_{0}$ = 0 et $F_{1}$ = 1.

$F_{0}$ = λa₀ + µb₀ = λ×1 + µ×1 = λ + µ.

On veut que $F_{0}$ = 0 donc : λ + µ = 0 d'où λ = −µ.

$F_{1}$ = λa₁ + µb₁ = −µa₁ + µb₁ = −µa₀ [ (1 − √5)/2]¹ + µb₀ [ (1 +√5)/2]¹ = −µ [ (1 − √5)/2] + µ [ (1 +√5)/2].

On veut que $F_{1}$ = 1 donc : −µ [ (1 − √5)/2] + µ [ (1 +√5)/2] = 1.

D'où µ [(1 +√5)/2 − (1 −√5)/2] = 1.

Et donc µ√5 =1.

D'où µ = 1/√5, c'est-à-dire µ = √5/5 et donc λ = −√5/5.

Calculons le rapport $F_{n + 1}$ / $F_{n}$

$\frac{F_{n + 1}}{F_{n}} = \frac{λ q_{1}^{n + 1} + µ q_{2}^{n + 1}}{λ q_{1}^{n} + µ q_{2}^{n}}$ ;

$\frac{F_{n + 1}}{F_{n}} = \frac{- µ q_{1}^{n + 1} + µ q_{2}^{n + 1}}{- µ q_{1}^{n} + µ q_{2}^{n}}$ ;

$\frac{F_{n + 1}}{F_{n}} = \frac{q_{2}^{n + 1} - q_{1}^{n + 1}}{q_{2}^{n} - q_{1}^{n}}$ ;

$\frac{F_{n + 1}}{F_{n}} = \frac{q_{2} - q_{1} \times {(\frac{q_{1}}{q_{2}})}^{n}}{1 - {(\frac{q_{1}}{q_{2}})}^{n}}$ .

Or, le rapport $\frac{q_{1}}{q_{2}}$ est compris entre −1 et 1. En effet :

$\frac{q_{1}}{q_{2}} = \frac{1 - \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}}$ ;

$\frac{q_{1}}{q_{2}} = \frac{{(1 - \sqrt{5})}^{2}}{(1 - \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})}$ ;

$\frac{q_{1}}{q_{2}} = \frac{1 - 2 \sqrt{5} + 5}{1 - 5} = \frac{\sqrt{5} - 3}{2} \in$ $] - 1; 1 [$ .

De là, le terme ${(\frac{q_{1}}{q_{2}})}^{n}$ tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

On peut conclure que le rapport $\frac{F_{n + 1}}{F_{n}}$ de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci tend vers $q_{2}$ , soit le nombre d'or $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

Pour aller plus loin :