Mersenne est un mathématicien du 17ème siècle.
Nous pouvons décrire les nombres de Mersenne sous la forme des termes d'une suite M définie comme suit : pour tout p > 0, Mp = 2p − 1.
Plus généralement, nous parlons des nombres de Mersenne pour les rangs où p est un nombre premier. En effet, pour p premier, les nombres de Mersenne sont susceptibles d'être premiers.
Mersenne, à son époque, avait donné une liste des termes de cette suite qui sont premiers, mais cette liste s'est avérée fausse.
Par jeu, j'ai commencé à coder un petit programme en C afin de décomposer les nombres de Mersenne non premiers en produit de facteurs premiers.
A la même époque, Fermat, autre mathématicien du 17ème siècle, conjecture que les termes de la suite F définie comme suit : pour tout n ≥ 0,
Fn = 22^n + 1 = `2^{2^n} + 1`, sont des nombres premiers.
C'est vrai pour les 5 premiers, mais bien qu'il ne soit pas aisé de les factoriser, aujourd'hui (2012) aucun terme premier à partir du rang 5 n'a été trouvé.
F0 = 3 est premier
F1 = 5 est premier
F2 = 17 est premier
F3 = 257 est premier
F4 = 65537 est premier
F5 = 4294967297 = 6700417 × 641 × 1
F6 = 274177 × 67280421310721
F7 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
Grâce à l'algorithme de Brent Pollard j'ai décomposé ce nombre :
2^128+1 = 340282366920938463463374607431768211457(39) =
59649589127497217(17) × 5704689200685129054721(22) × 1 en Temps en seconde(s) : 251151.280743
F8 = 1238926361552897 × P62 (P62 étant le premier nombre premier comptant 62 chiffres)
F9 = 2424833 × 7455602825647884208337395736200454918783366342657 × P99
F10 = 45592577 × 6487031809 × 4659775785220018543264560743076778192897 × P252
F11 = 319489 × 974849 × 167988556341760475137 × 3560841906445833920513 × P564
pour tout n > 1, Fn = ( Fn−1 − 1 )² + 1 ou Fn = F²n−1 − 2( Fn−2 − 1)²