La suite des nombres de Mersenne

Mersenne est un mathématicien du XVII^e siècle.

Nous pouvons décrire les nombres de Mersenne sous la forme des termes d'une suite M définie comme suit : pour tout p > 0, M_p = 2^p − 1.

Plus généralement, nous parlons des nombres de Mersenne pour les rangs où p est un nombre premier. En effet, pour p premier, les nombres de Mersenne sont susceptibles d'être premiers.

Mersenne, à son époque, avait donné une liste des termes de cette suite qui sont premiers, mais cette liste s'est avérée fausse.

En octobre 2024, le plus grand nombre premier connu était le nombre de Mersenne 2^{136 279 841} − 1, qui compte 41 024 320 chiffres.

Par jeu, j'ai commencé à coder un petit programme en C afin de décomposer les nombres de Mersenne non premiers en produit de facteurs premiers.

La suite des nombres de Fermat

À la même époque, Fermat, autre mathématicien du XVII^e siècle, conjecture que les termes de la suite F définie comme suit : pour tout n ≥ 0,

F_n = 2^{2^n} + 1 = $2^{2^{n}} + 1$ , sont des nombres premiers.

C'est vrai pour les 5 premiers, mais c'est faux ensuite, même si ces nombres ne sont pas faciles à factoriser. On sait aujourd'hui que F₅ à F₃₂ sont composés ; aucun nombre de Fermat premier n'est connu au-delà de F₄.

F₀ = 3 est premier

F₁ = 5 est premier

F₂ = 17 est premier

F₃ = 257 est premier

F₄ = 65537 est premier

F₅ = 4294967297 = 641 × 6700417

F₆ = 274177 × 67280421310721

F₇ = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

Grâce à l'algorithme rho de Pollard (dans sa variante due à Brent), j'ai décomposé ce nombre :

2¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 (39 chiffres) =
59649589127497217 (17 chiffres) × 5704689200685129054721 (22 chiffres), en 251 151 secondes de calcul (environ 70 heures).

F₈ = 1238926361552897 × P62 (P62 désignant un nombre premier de 62 chiffres ; de même pour P99, P252 et P564)

F₉ = 2424833 × 7455602825647884208337395736200454918783366342657 × P99

F₁₀ = 45592577 × 6487031809 × 4659775785220018543264560743076778192897 × P252

F₁₁ = 319489 × 974849 × 167988556341760475137 × 3560841906445833920513 × P564

Propriétés des nombres de Fermat

Pour tout n > 1, F_n = (F_n−1 − 1)² + 1 ou F_n = F²_n−1 − 2(F_n−2 − 1)².