On dit qu'une suite `U = (u_n)` de réels ou de complexes est une suite de Cauchy si elle vérifie la propriété suivante, appelée critère de Cauchy :
Pour tout `ε > 0`, Il existe un entier `N` tel que pour tout couple d'entiers telque `(p,q), p ≥ N` et `q ≥ N`, on a : `|u_p − u_q| ≤ ε`
1. Si une suite `U = (u_n)` de réels converge vers une limite finie `λ`, alors c'est une suite de Cauchy.
Démonstration :
Pour tout couple d'entiers n,k on a : `|u_{n+k} − u_n| = |u_{n+k} − λ + λ − u_n| ≤ |u_{n+k} − λ| + |λ − u_n|`
Soit un réel `ε > 0`, il existe un entier `N` à partir duquel pour tout n on a : `|u_n − λ| ≤ ε/2` (déf de la convergence)
De là pour tout `n ≥ N`, on a aussi : `|u_{n+k} − λ| ≤ ε/2`.
Conclusion : pour tout entier `n ≥ N` et pour tout entier k , on a :
`|u_{n+k} − u_n| ≤ |u_{n+k} − λ| + |λ − u_n| ≤ ε/2 + ε/2 = ε`.
2. Toute suite de Cauchy réelle, converge.
Exemple de suite de Cauchy
Soit la suite `U = (u_n)` définie par : `u_0 = a` un réel et pour tout entier n, `u_{n+1} = (u_n + a/u_n)/2`
La suite U est une suite qui converge dans `RR` vers `√a`, donc c'est une suite de Cauchy.