Suites en mathématiques

Démonstration formule mensualité

Amortissement par mensualités

La principale difficulté de passer à l'étude d'un amortissement par annuité, à un amortissement par mensualité, c'est que cela met en jeu beaucoup plus de terme. En effet le fait de passer des années au mois multiplie le nombre de terme par 12.

Pour plus de clarté, nous traiterons l'exemple courant d'un emprunt immobilier suivant.

Une personne emprunte la somme 185000€ qu'elle doit rembourser en 240 paiements mensuels égaux (soit 20 ans), dont le premier des paiements aura lieu un mois juste après l'emprunt, le taux nominal de l'intérêt étant 4,50% par an. Quelle est la somme à payer chaque mois ?

L'intérêt mensuelle de 1€ est égale à 1/12ème de l'intérêt nominal annuel, c'est-à-dire

0,045 / 12 = 0,00375.

L'intérêt de 1€ au bout de 1 mois étant de 0,00375€, un capital de 1€ prend une valeur égale à 1,00375 €.

Au bout du premier mois, la valeur acquise par le capital, que nous nommerons C₁ est égale à au capital emprunté, que nous nommerons C, multiplié par 1,00375 auquel il faut retrancher la mensualité, que nous nommerons m, soit :

C₁ = C × 1,00375 − m.

Au bout du deuxième mois, la valeur acquise par le capital, que nous nommerons C₂ est égale à C₁ multiplié par 1,00375 auquel il faut retrancher la mensualité m, soit :

C₂ = C₁ × 1,00375 − m.

Soit en remplaçant C₁ par C × 1,00375 − m,

C₂ = ( C × 1,00375 − m ) × 1,00375 − m

C₂ = C × 1,00375² − m × 1,00375 − m.

Au bout du troisième mois, on peut établir que C₃ est égale à,

C₃ = C × 1,00375³ − m × 1,00375² − m × 1,00375 − m.

etc ...

Au bout du 240^e mois, nous aurions,

C₂₄₀ = C × 1,00375²⁴⁰ − m × 1,00375²³⁹ − ... ... − m × 1,00375² − m × 1,00375 − m.

sauf que le capital restant du au bout des 240 mois doit être égale à 0.

Nous obtenons donc,

C × 1,00375²⁴⁰ − m × 1,00375²³⁹ − ... ... − m × 1,00375² − m × 1,00375 − m = 0.

Ou encore, en mettant en facture la mensualité m,

C × 1,00375²⁴⁰ − m (1,00375²³⁹ + ... ... +1,00375² +1,00375 +1) = 0.

Le facteur (1,00375²³⁹+ ... ... +1,00375² +1,00375 +1) est la somme des termes d'une suite géométrique, dont la raison est 1,00375; cette somme est égale à :

(1,00375²⁴⁰ −1) / (1,00375 − 1) ou (1,00375²⁴⁰ − 1) / 0,00375.

On a donc l' équation,

C × 1,00375²⁴⁰ − m (1,00375²⁴⁰ − 1) / 0,00375 = 0.

De là on tire,

m = C × 1,00375²⁴⁰ / [ (1,00375²⁴⁰ − 1) / 0,00375 ]

ou

m = C × 0,00375 × 1,00375²⁴⁰ / (1,00375²⁴⁰ − 1). [ i ]

Soit pour notre exemple,

m = 185 000 × 0,00375 × 1,00375²⁴⁰ / (1,00375²⁴⁰ −1)

m = 1 170,40€.

Soit un coût total hors assurance de,

240 × 1170,40 − 185000 = 95860€.

Formule de la mensualité d'un emprunt

La formule [ i ] peut se généraliser de la façon suivante :

soit t le taux d'intérêt mensuel, n le nombre de mois de l'emprunt et C le capital emprunté, on a alors la mensualité m qui est égale à

m = C × t × ( 1 + t )ⁿ / [ ( 1 + t )ⁿ − 1 ]

ou encore

`m = C × t × ( 1 + t )^n / [ ( 1 + t )^n − 1 ]`

`m = {C × t} / [1 - 1 / [(1+t)^(-n)]]`

`m = {C × t} / [1 - (1+t)^(-n)]`

On préféra bien sur la dernière forme.

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