Suites en mathématiques

Amortissement par annuités

Amortissement d'un emprunt par annuités

Pour plus de clarté, nous traiterons le problème suivant :

Une ville emprunte 185 000€ qu'elle doit rembourser en 5 paiements annuels égaux, dont le premier aura lieu un an après l'emprunt, le taux de l'intérêt étant 4,50%. Quelle est la somme à payer chaque année ?

L'intérêt de 1€ au bout de 1 an étant de 0,045€, un capital de 1€ prend une valeur égale à 1,045 €.

Au bout de la première année, la valeur acquise par le capital, que nous nommerons C₁ est égal à au capital emprunté, que nous nommerons C, multiplié par 1,045 auquel il faut retrancher l'annuité, que nous nommerons a, soit :

C₁ = C × 1,045 − a.

Au bout de la deuxième année, la valeur acquise par le capital, que nous nommerons C₂ est égal à C₁ multiplié par 1,045 auquel il faut retrancher l'annuité a, soit :

C₂ = C₁ × 1,045 − a.

Et donc en remplaçant C₁ par (C × 1,045 − a),

C₂ = (C × 1,045 − a) × 1,045 − a

C₂ = C × 1,045² − a × 1,045 − a.

Au bout de la troisième années, on peut établir que C₃ est égale à,

C₃ = C × 1,045³ − a × 1,045² − a × 1,045 − a.

Au bout de la quatrième années, on peut établir que C₄ est égale à,

C₄ = C × 1,045⁴ − a × 1,045³ − a × 1,045² − a × 1,045 − a.

Au bout de la cinquième année, nous aurions,

C₄ = C × 1,045⁵ − a × 1,045⁴ − a × 1,045³ − a × 1,045² − a × 1,045 − a

sauf que le capital restant du au bout de la cinquième année, doit être égale à 0.

Nous obtenons donc,

C × 1,045⁵ − a × 1,045⁴ − a × 1,045³ − a × 1,045² − a × 1,045 − a = 0.

Ou encore, en mettant en facteur l'annuité a,

C × 1,045⁵ − a (1,045⁴ + 1,045³ + 1,045²+ 1,045 + 1) = 0.

Le facteur (1,045⁴ + 1,045³ + 1,045²+ 1,045 + 1) est la somme des termes d'une suite (ou progression) géométrique, dont la raison est 1,045; cette somme est égale à :

(1,045⁵ − 1) / (1,045 − 1) ou (1,045⁵ − 1) / 0,045.

On a donc l' équation,

C × 1,045⁵ − a (1,045⁵ − 1) / 0,045 = 0.

De là on tire,

a = C × 1,045⁵ / [ (1,045⁵ − 1) / 0,045 ]

ou

a = C × 0,045 × 1,045⁵ / (1,045⁵ − 1).

Soit pour notre exemple,

a = 185 000 × 0,045 × 1,045⁵ / (1,045⁵ − 1)

a = 42 141,45 euros .

Formule de l'annuité

Si on désigne par `a` l'annuité, par `C` le capital emprunté, `r` le taux annuel par € et `n` le nombre des années, on aura la formule générale de l'annuité :

`a ` = ` C × r × {(1 + r)^n} / {(1 + r)^n − 1}`