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I Définition et notation mode de généralisation d'une suite

1°) Définition

Une application numérique u dont la source I est une partie de N dans R est appélée une suite numérique (ou à termes réels) définie sur I.

remarque : dans le cas d'une suite, la variable n est un entier naturel.

2°) Notation indicielle

I une partie de N

u est une suite numérique définie sur I, pour tout entier n élément de I (n entier naturel), u(n) = u_n et la suite u est notée u = (u_n)_n∈I appelée suite de terme général u_n défini sur I (ou indexée par I).

remarque : dans cette écriture, n est une lettre muette (interchangeable) nous pouvons écrire u = (u_p) p∈I ou u = (u_k) k∈I.

en pratique : nous prendrons comme partie I de N l'ensemble des entiers naturels superieurs ou égaux à un entier naturel donné m soit I = {n∈I / n≥m}.

La suite de terme général U définie sur I est alors notée u = (u_n)_n≥m.

Les nombres u_m, u_m+1, u_m+2, u_m+3, u_m+4 sont les termes successifs de la suite :

u_m premier terme

u_m+1 deuxième terme

u_m+2 troisième terme ...

exemples :

- (u_n)_n∈N = (u_n)_n≥0 suite de premier terme u₀

- (u_n)_n∈N* = (u_n)_n≥1 suite de premier terme u₁

exemples :

- Soit la suite (u_n)_n≥6 définie par u_n = √(3n−17). C'est l'application u de I = {6, 7, 8, 9, ...} dans ℜ l'ensemble des réels, qui a tout n élément de I correspond u_n = √(3n−17).

premier terme u₆ = √(3 × 6 − 17) = 1

deuxième terme u₇ = √(3 × 7 − 17) = 2

troisième terme u₈ = √(3 × 8 − 17) = √7

Quelle sera la valeur du 99 ème terme ?

Pour répondre à cette question il faut connaitre l'indice du 99 ème terme, c'est-à-dire la valeur k telle que le 99 ème terme soit u_k.

remarque : soient a,b deux entiers tels que a ≤ b le nombre d'entiers appartenant à l'ensemble [a,b] est égale à : (b − a+1). Donc étant donné la suite (u_n)_n≥a, a entier donné de premier terme u_a et k un entier naturel ≥ a, u_k est le (k − a+1) ème de la suite.

Sur l'exemple, u_k est le 99 ème terme si (k − a+1) = 99 alors (k − 6+1) = 99 et k = 104.

Le 99 éme terme u₁₀₄ = √(3 × 104 − 17) = √295.

- Soit la suite (v_p)_p∈N défine par v_p = p² + 3p;

c'est l'application :

N → ℜ

p → v_p = p² + 3p

premier terme v₀ = 0

deuxième terme v₁ = 4

troisième terme v₂ = 10

100 ème terme v₉₉ = 10098

pour tout p ∈ N, calculer v_p+1

v_p+1 = (p+1)² + 3(p+1) = p² + 2p + 1 + 3p + 3 = p² + 5p + 4

v_p+1 − v_p = p² + 5p + 4 − (p² + 3p) = 2p + 4 > 0 pour p élément de N.

Pour tout n élément de N nous obtenons v_n < v_n+1, donc v₀ < v₁ < v₂ < v₃ < v₄ < ...

La suite est dite strictement croissante.

Pout tout k entier ≥ 8, calculer v_{7k − 55} .

(v_p n'a de sens que si p est superieur à 0 , donc 7k − 55 ≥ 0 d'où k ≥ 8)

v_{7k − 55} = (7k − 55)² + 3(7k − 55) = 49² − 749k + 2860.

3°) Mode génération d'une suite

Soit a un entier naturel fixé

Soit u = u(a)_n≥0 une suite générateur de premier terme u_a.

a) La suite peut être définie de maniére explicite, c'est-à-dire en donnant l'expression de u_n en fonction de n .

b) en pratique

ƒ étant une fonction numérique définie sur l'intervalle [a ; +∞[ de ℜ on pourra définir une suite (u_n)_n≥a par tout entier n≥a tel que u_n = ƒ(n).

exemple :

Soit la suite (u_n)_n≥a de terme général u_n = (n²−1)÷(n²+1). Soit la fonction définie sur ℜ par ƒ(x) = (x²−1)÷(x²+1), alors pour tout n élément de N, u_n = ƒ(n).

c) la suite peut être définie de manière récurrente

Nous pourrons définir de manière unique la suite (u_n)_n≥a en se donnant la valeur du premier terme u_a en donnant la condition pour tout entier n ≥ a u_n+1 = ƒ(u_n).

exemple :

La suite (u_n)_n∈N est définie par u₀ = 0 et pour tout tout entier n ≥ 0 u_n+1 = 3u_n − 2 (formule de récurrence).

Soit la fonction numérique ƒ définie sur ℜ par ƒ(x) = 3x − 2, nous avons ainsi pour tout entier n≥0 u_n+1 = ƒ(u_n).

u₀ = 0

u₁ = 3u₀ − 2 = − 2

u₂ = 3u₁ − 2 = − 8

u₃ = 3u₂ − 2 = − 26

...

Pour tout entier n ≥ 2, calculons u_n en fonction de n+2.

u_n = 3u_n−1 − 2 = 3(3u_n−2 − 2) − 2 puisque u_n−1= 3u_n−2 − 2 d'après la formule de récurrence d'où on obtient :

u_n = 9u_n−2 − 8.

exercice :

Soit la suite (u_n)_n∈N est définie par la relation suivante :

pour tout n ∈ N , u_n+1 = (u_n)² et u₀ = 4.

Soit la fonction ƒ définie sur ℜ par ƒ(x) = x²

∀ n ∈ N, u_n+1 = ƒ(u_n)

u₁ = ƒ(u₀) = 4²

u₂ = ƒ(u₁) = (4²)² = 4⁴

u₃ = ƒ(u₂) = (4⁴)² = 4⁸

u₄ = ƒ(u₃) = (4⁸)² = 4¹⁶

u₅ = ƒ(u₄) = (4¹⁶)² = 4³²

u₆ = ƒ(u₅) = (4³²)² = 4⁶⁴

u₇ = ƒ(u₆) = (4⁶⁴)² = 4¹²⁸

...

Pour tout n entier quelconque, calculer l'expression de u_n en fonction de n.

Il faut remarquer :

1 = 2⁰ ; 2 = 2¹ ; 4 = 2² ; 8 = 2³ ; ... 128 = 2⁷ ;

Pour tout n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} on a u_n = 4^p où p est égale à 2ⁿ .

Essayons de démontrer que pour tout n entier, on a u_n = 4^p où p est égale à 2ⁿ .

Raisonnons par récurrence

On note P(n) l'égalité (u_n = 4^p) où p est égale à 2ⁿ énoncé dans laquelle la variable est n entier ≥ 0 .

i) P(0) est vrai car on a u₀ = 4¹ et 1 = 2⁰

ii) Soit n entier ≥ 0 tel que pout tout 0 ≤ k ≤ n , P(k) soit vrai donc par hypothèse u_n = 4^p où p est égale à 2ⁿ .

P(n+1) est-il vrai ? c'est-à-dire a-t-on u_n+1 = 4^p où p est égale à 2ⁿ⁺¹ ?

On a :

u_n+1 = (u_n)² c'est la définition de la suite

d'où

u_n+1 = (4^m)² où m est égale à 2ⁿ d'après l'hypothèse de récurrence

u_n+1 = 4^2m où m est égale à 2ⁿ on a 2m = 2 × 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹

u_n+1 = 4^p où p est égale à 2ⁿ⁺¹

P(n+1) est donc vrai.

Si n entier ≥ 0 est telque P(n) soit vrai alors nécessairement P(n+1) est vrai aussi.

Conclusion :

P(0) est vrai alors P(1) est vrai

P(1) est vrai alors P(2) est vrai

P(2) est vrai alors P(3) est vrai

etc

P(n) est donc vrai pour tout entier n ≥ 0 on a u(n) = 4^p où p est égale à 2ⁿ pur tout n ∈ N .