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IV Suites majorées et minorées
1°) Définition des suites majorées et minorées
Soit a un entier naturel fixé, la suite (un)n≥a est une suite à termes réels
a) suite majorée et minorée
La suite est majorée ( respectivement minorée ) si il existe une constante M ( respectivement une constante m) telle que pour tout entier n ≥ a , on a un ≤ M ( respectivement un ≥ m ) .
b) suite bornée
La suite (un)n≥a est bornée si la suite est majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe une constante μ ≥ 0 telle que pour tout entier n ≥ a, on a |un| ≤ μ .
exemple :
La suite (un)n>0 défini par pour tout n entier relatif , un = 1/n . Cette suite est-elle majorée ? ou minorée ?
La suite est minorée par 0 car pour tout n entier relatif ≠ 0 on a un > 0 .
La suite est majorée par 1 car pour tout n entier relatif ≠ 0 on a un ≤ 1 .
exemple :
La suite (vn)n≥0 définie par : pour tout n ≥ 0, vn = (n² − 1)÷(n² + 1). Cette suite est-elle majorée ? ou minorée ?
Soit la fonction ƒ qui a tout x associe ƒ(x) = (x² − 1)÷(x² + 1) définie sur ℜ telle que pour tout n entier relatif vn = ƒ(n) .
Il faut étudier la fonction ƒ sur [0; +∞[ . ƒ est une fonction continue et dérivable sur [0; +∞[ .
On a pour tout x de [0; +∞[ on a ƒ'(x)= 4x÷(x² + 1)² , la dérivé ƒ' est du signe de 4x sur l'ensemble [0; +∞[ , donc nulle en 0 et strictement positif sur ]0, +∞[ .
La fonction f est donc strictement croissante sur [0; +∞[ et croit de −1 à 1, on a donc pour tout x élément de [0; +∞[ , −1 ≤ ƒ(x) ≤ 1
d'où l'on peut déduire pour tout n entier naturel , −1 ≤ ƒ(n) ≤ 1
et de là pour tout n entier naturel , −1 ≤ vn ≤ 1 .
Généralisation
Soit (un)n≥a une suite numérique telque il existe une fonction numérique ƒ définie sur [a; +∞[ telque pour tout entier naturel n ≥ a on ait un = ƒ(n) .
Pour savoir si la suite est majorée ou minorée il pourra être utile de dresser le tableau de variation de ƒ sur [a; +∞[ .
exemple :
La suite (un)n≥0 définie par :
un = 1 et pour tout n entier naturel un+1 = un÷ 3 + 2 .
Montrer que la suite est minorée par 1 et majorée par 3, c'est-à-dire pour tout entier naturel n nous ayons : 1 ≤ un ≤ 3 .
Raisonnement par récurrence
Soit P(n) l'énoncé "pour tout n entier ≥ 0, on a 1 ≤ un ≤ 3" dont on veut démontrer qu'il est vrai pour tout entier ≥ 0.
* P(0) est vrai, car nous avons 1 ≤ u0 = 1 ≤ 3
** Soit n entier ≥ 0 tel que P(n) soit vrai, c'est-à-dire par hypothèse on ai 1 ≤ un ≤ 3 pour tout n ≥ 0
P(n+1) est-il vrai ? c'est-à-dire a-t-on 1 ≤ un+1 ≤ 3 ?
par définition on sait que : un+1 = un÷ 3 + 2
d'où
1 ≤ un ≤ 3
1/3 ≤ un ÷ 3 ≤ 1
7/3 ≤ un ÷ 3 + 2 ≤ 3
d'où l'on déduit :
1 ≤ 7/3 ≤ un+1 ≤ 3 donc P(n+1) est vrai .
Conclusion P(n) est vrai pour tout entier ≥ 0 et donc la suite (un)n≥0 est bien minorée par 1 et majorée par 3.