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I Définition et notation mode de généralisation d'une suite
1°) Définition
Une application numérique u dont la source I est une partie de N dans R est appélée une suite numérique (ou à termes réels) définie sur I.
remarque : dans le cas d'une suite, la variable n est un entier naturel.
2°) Notation indicielle
I une partie de N
u est une suite numérique définie sur I, pour tout entier n élément de I (n entier naturel), u(n) = un et la suite u est notée u = (un)n∈I appelée suite de terme général un défini sur I (ou indexée par I).
remarque : dans cette écriture, n est une lettre muette (interchangeable) nous pouvons écrire u = (up) p∈I ou u = (uk) k∈I.
en pratique : nous prendrons comme partie I de N l'ensemble des entiers naturels superieurs ou égaux à un entier naturel donné m soit I = {n∈I / n≥m}.
La suite de terme général U définie sur I est alors notée u = (un)n≥m.
Les nombres um, um+1, um+2, um+3, um+4 sont les termes successifs de la suite :
um premier terme
um+1 deuxième terme
um+2 troisième terme ...
exemples :
- (un)n∈N = (un)n≥0 suite de premier terme u0
- (un)n∈N* = (un)n≥1 suite de premier terme u1
exemples :
- Soit la suite (un)n≥6 définie par un = √(3n−17). C'est l'application u de I = {6, 7, 8, 9, ...} dans ℜ l'ensemble des réels, qui a tout n élément de I correspond un = √(3n−17).
premier terme u6 = √(3 × 6 − 17) = 1
deuxième terme u7 = √(3 × 7 − 17) = 2
troisième terme u8 = √(3 × 8 − 17) = √7
Quelle sera la valeur du 99 ème terme ?
Pour répondre à cette question il faut connaitre l'indice du 99 ème terme, c'est-à-dire la valeur k telle que le 99 ème terme soit uk.
remarque : soient a,b deux entiers tels que a ≤ b le nombre d'entiers appartenant à l'ensemble [a,b] est égale à : (b − a+1). Donc étant donné la suite (un)n≥a, a entier donné de premier terme ua et k un entier naturel ≥ a, uk est le (k − a+1) ème de la suite.
Sur l'exemple, uk est le 99 ème terme si (k − a+1) = 99 alors (k − 6+1) = 99 et k = 104.
Le 99 éme terme u104 = √(3 × 104 − 17) = √295.
- Soit la suite (vp)p∈N défine par vp = p² + 3p;
c'est l'application :
N → ℜ
p → vp = p² + 3p
premier terme v0 = 0
deuxième terme v1 = 4
troisième terme v2 = 10
100 ème terme v99 = 10098
pour tout p ∈ N, calculer vp+1
vp+1 = (p+1)² + 3(p+1) = p² + 2p + 1 + 3p + 3 = p² + 5p + 4
vp+1 − vp = p² + 5p + 4 − (p² + 3p) = 2p + 4 > 0 pour p élément de N.
Pour tout n élément de N nous obtenons vn < vn+1, donc v0 < v1 < v2 < v3 < v4 < ...
La suite est dite strictement croissante.
Pout tout k entier ≥ 8, calculer v7k − 55 .
(vp n'a de sens que si p est superieur à 0 , donc 7k − 55 ≥ 0 d'où k ≥ 8)
v7k − 55 = (7k − 55)² + 3(7k − 55) = 49² − 749k + 2860.
3°) Mode génération d'une suite
Soit a un entier naturel fixé
Soit u = u(a)n≥0 une suite générateur de premier terme ua.
a) La suite peut être définie de maniére explicite, c'est-à-dire en donnant l'expression de un en fonction de n .
b) en pratique
ƒ étant une fonction numérique définie sur l'intervalle [a ; +∞[ de ℜ on pourra définir une suite (un)n≥a par tout entier n≥a tel que un = ƒ(n).
exemple :
Soit la suite (un)n≥a de terme général un = (n²−1)÷(n²+1). Soit la fonction définie sur ℜ par ƒ(x) = (x²−1)÷(x²+1), alors pour tout n élément de N, un = ƒ(n).
c) la suite peut être définie de manière récurrente
Nous pourrons définir de manière unique la suite (un)n≥a en se donnant la valeur du premier terme ua en donnant la condition pour tout entier n ≥ a un+1 = ƒ(un).
exemple :
La suite (un)n∈N est définie par u0 = 0 et pour tout tout entier n ≥ 0 un+1 = 3un − 2 (formule de récurrence).
Soit la fonction numérique ƒ définie sur ℜ par ƒ(x) = 3x − 2, nous avons ainsi pour tout entier n≥0 un+1 = ƒ(un).
u0 = 0
u1 = 3u0 − 2 = − 2
u2 = 3u1 − 2 = − 8
u3 = 3u2 − 2 = − 26
...
Pour tout entier n ≥ 2, calculons un en fonction de n+2.
un = 3un−1 − 2 = 3(3un−2 − 2) − 2 puisque un−1= 3un−2 − 2 d'après la formule de récurrence d'où on obtient :
un = 9un−2 − 8.
exercice :
Soit la suite (un)n∈N est définie par la relation suivante :
pour tout n ∈ N , un+1 = (un)² et u0 = 4.
Soit la fonction ƒ définie sur ℜ par ƒ(x) = x²
∀ n ∈ N, un+1 = ƒ(un)
u1 = ƒ(u0) = 4²
u2 = ƒ(u1) = (4²)² = 44
u3 = ƒ(u2) = (44)² = 48
u4 = ƒ(u3) = (48)² = 416
u5 = ƒ(u4) = (416)² = 432
u6 = ƒ(u5) = (432)² = 464
u7 = ƒ(u6) = (464)² = 4128
...
Pour tout n entier quelconque, calculer l'expression de un en fonction de n.
Il faut remarquer :
1 = 20 ; 2 = 21 ; 4 = 22 ; 8 = 23 ; ... 128 = 27 ;
Pour tout n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} on a un = 4p où p est égale à 2n .
Essayons de démontrer que pour tout n entier, on a un = 4p où p est égale à 2n .
Raisonnons par récurrence
On note P(n) l'égalité (un = 4p) où p est égale à 2n énoncé dans laquelle la variable est n entier ≥ 0 .
i) P(0) est vrai car on a u0 = 41 et 1 = 20
ii) Soit n entier ≥ 0 tel que pout tout 0 ≤ k ≤ n , P(k) soit vrai donc par hypothèse un = 4p où p est égale à 2n .
P(n+1) est-il vrai ? c'est-à-dire a-t-on un+1 = 4p où p est égale à 2n+1 ?
On a :
un+1 = (un)² c'est la définition de la suite
d'où
un+1 = (4m)² où m est égale à 2n d'après l'hypothèse de récurrence
un+1 = 42m où m est égale à 2n on a 2m = 2 × 2n = 2n+1
un+1 = 4p où p est égale à 2n+1
P(n+1) est donc vrai.
Si n entier ≥ 0 est telque P(n) soit vrai alors nécessairement P(n+1) est vrai aussi.
Conclusion :
P(0) est vrai alors P(1) est vrai
P(1) est vrai alors P(2) est vrai
P(2) est vrai alors P(3) est vrai
etc
P(n) est donc vrai pour tout entier n ≥ 0 on a u(n) = 4p où p est égale à 2n pur tout n ∈ N .