Suites en mathématiques

Somme des termes d'une suite arithmétique

Somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique

On peut trouver la somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique en connaissant le premier et le dernier termes.

On note : S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n−1 + u_n la somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique.

D'après la formule [ i ], la somme devient :

S_n = a + a + r + ... + a + r × ( n − 2 ) + a + r × ( n − 1 ).

On peut également réécrire cette somme dans l'ordre décroissant des rangs des termes, c'est-à-dire :

S_n = u_n + u_n−1 + ... + u₂ + u₁

S_n = a + r × ( n − 1) + a + r × ( n − 2 ) + ... + a + r + a

On additionne les deux expressions de S_n obtenues :

S_n = [ a ]                       + [ a + r ]                          + ... + [ a + r × ( n − 2 )] + [ a + r × ( n − 1 ) ]

S_n = [ a + r × ( n − 1 )]  + [ a + r × ( n − 2 )]           + ... + [ a + r ]               + [ a ]

ce qui donne :

2S_n = [ a + a + r × ( n − 1 ) ] + [ a + r + a + r × ( n − 2 ) ] + ... + [ a + r × ( n − 1) + a ]

On obtient :

2S_n = [ 2a + r × ( n − 1) ] + [ 2a + r × (n − 2 + 1) ] + ... + [ 2a + r × (n − 1) ]

2S_n = [ 2a + r × (n − 1) ] + [ 2a + r × (n − 1) ] + ... + [ 2a + r × (n − 1) ]

Comme il y a n termes consécutifs, on obtient :

2S_n = n × [ 2a + r × (n − 1) ]

2S_n = n × [ a + a + r × (n − 1) ]

Comme u₁ = a et u_n = a + r × (n − 1), on obtient :

2S_n = n × [ u₁ + u_n ]

Nous trouvons ainsi la règle suivante :

La somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale à la demi-somme des premier et dernier termes, multipliée par le nombre de termes.

Formule de la somme des termes d'une suite arithmétiques

Cette règle est exprimée par la formule :

`u_1 + ... + u_n ` = ` n × [ u_1 + u_n ] / 2`.

Attention si le premier terme est `u_0`, la formule devient :

`u_0 + ... + u_n ` = ` (n+1) × [ u_0 + u_n ] / 2`.

Et pour la somme des termes de `u_p` à `u_n`, la formule est :

`u_p + ... + u_n ` = ` (n-p+1) × [ u_p + u_n ] / 2`.