La décomposition en facteurs premiers de grands entiers (nombres composés de plusieurs dizaines de chiffres) est encore de nos jours très difficile à réaliser. Malgré la puissance des ordinateurs qui n'a cessé d'augmenter depuis plus d'un demi-siècle, il n'est toujours pas possible de factoriser certains nombres qui possèdent plusieurs centaines de chiffres et dont les facteurs premiers sont peu nombreux et dont le plus petit d'entre eux posséde, lui aussi, un très grand nombre de chiffres. C'est d'ailleurs la base de la cryptographie moderne.
Si l’on choisit deux nombres premiers suffisamment grands (composés de plusieurs centaines de chiffres chacun), il est très facile de les multiplier entre eux avec nos ordinateurs actuels, cela ne prendra qu'un certain temps (moins d'une seconde). Par contre, une fois le résultat obtenu, il est quasiment impossible d’effectuer sa décomposition en facteurs premiers, cela pourrait prendre un temps certain (jusqu'à plusieurs années).
Pour vous donner un ordre d'idée de la difficulté à décomposer en facteurs premiers, essayez de trouver, sans table de nombres premiers, les facteurs premiers de ce nombre 30 031 ou encore de 4 294 967 297, le sixième nombre de Fermat.
Fermat avait conjecturé au 17ème siècle (vers 1640) que les nombres de la forme `2^{2^n} + 1` étaient premiers. Cette conjecture se révéla fausse. Les 5 premiers nombres de Fermat sont effectivement premiers.
F0 = 3 ; F1 = 5 ; F2 = 17 ; F3 = 257 ; F4 = 65537.
Mais le sixième 4 294 967 297 ne l’est pas. C’est le mathématicien Euler qui, en 1733, près d’un siècle plus tard, montra que le sixième nombre de Fermat pouvait se factoriser en 2 termes.
En 1867, Landry trouve que le nombre de Mersenne M59 est divisible par 179 951, il lui faut 143 divisions pour y parvenir. Pour démontrer que le second facteur 3 203 431 780 337 était premier, il lui faut encore plus de 1000 divisions pour y parvenir. Ce nombre est resté le plus grand nombre premier connu pendant 9 ans.
Le 7ème nombre de Fermat F6 = 274177 × 67280421310721 fut, quand à lui, factorisé en 1855 par Clausen.
Par la suite, les progrès dans la recherche de décompositions de grands nombres en produit de facteurs premiers ont été lents. Par exemple, au début du 20ème siècle, Frank Nelson Cole a donné la factorisation du nombre de Mersenne M67 = 267 − 1 = 147 573 952 589 676 412 927 en 1903. De son propre aveu, le calcul lui avait pris tous ses dimanches durant 3 ans.
M_67 = 193 707 721 × 761 838 257 287.
Le 8ème nombre de Fermat F7 = 2128 + 1 (composé de 39 chiffres) n’a, quand à lui, été factorisé que dans les années 1970 avec l’avènement de nouveaux algorithmes et la montée en puissance des ordinateurs.
Il aura fallu plus de 250000 secondes à mon meilleur programme pour le décomposer (sur un mac à 2ghz) :
2^128+1 = 340282366920938463463374607431768211457(39) =
59649589127497217(17) × 5704689200685129054721(22) × 1 Temps en seconde(s) : 251151.280743
De nos jour les meilleurs algorithmes le font en quelques secondes.
Voilà ce que l'on peut obtenir avec un ordinateur de particulier et quelques heures de programmation. Nous trouvons plusieurs algorithme sont à disposition sur le net, les plus triviaux ne mèment pas bien loin. Vous vous trouvez rapidement bloqué. Ne serais par les nombres de Mersenne qui sont premier. Il faut donc implanté un test de primilarité , j'ai choisi celui de Miller-Rabin, cela vous permet de ne pas avoir à tester, par votre algorithme de factorisation, les facteurs qui sont premiers.
M_ême avec ce test les résultats sont assez lents. M59 est un bon candidat pour tester des algorithmes. En effet sa factorisation est facilement accessible, mais tout même significative, du fait qu'il posséde seulement 2 facteurs premiers.
Nous appelerons l'algorithme "force brute", l'algorithme de division successives jusqu'à la racine carré du nombre tester.
M__59 = 2^59-1 = 576460752303423487(18) =
179951(6) × 3203431780337(13) × Temps en seconde(s) : 3.014073
M__59 = 2^59-1 = 576460752303423487(18) =
179951(6) × 3203431780337(13) × Temps en seconde(s) : 0.192607
avec cette méthode la factorisation de M67 devient accessible :
M__67 = 2^67-1 = 147573952589676412927(21) =
193707721(9) × 761838257287(12) × Temps en seconde(s) : 55.185544
M_algré l'optimisation des facteurs, il est évident que cette méthode va très vite trouver ses limites en effet le temps de factorisation est environ 280 fois plus long pour un petit facteur qui posséde seulement 3 chiffres de plus. De plus cette optimisation n'est valable que les nombre de Mersenne, c'est-à-dire pour p premier, et pas pour les autres valeurs de p.
M__67 = 2^67-1 = 147573952589676412927(21) =
193707721(9) × 761838257287(12) × Temps en seconde(s) : 6.954788
M__67 = 2^67-1 = 147573952589676412927(21) =
193707721(9) × 761838257287(12) × Temps en seconde(s) : 1.870080
Cette fois l'algorithme de brent pollard aidé de la division rapide pour les calculs modulo n peut nous permettre d'accéder à la factorisation des premiers nombres de Mersenne et des autres puissance, jusqu'au nombre 2169 − 1; excepté faite de 2122 − 1, 2137 − 1 et 2149 − 1 ces nombres sont des pseudos premiers composés de deux facteurs premiers dont les plus petits facteurs possédent au minimun 17 chiffres.
M__2 = 2^2-1 = 3(1) =
3(1) × 1 Temps en seconde(s) : 0.003421
M__3 = 2^3-1 = 7(1) =
7(1) × Temps en seconde(s) : 0.003405
M__4 = 2^4-1 = 15(2) =
3(1) × 5(1) × Temps en seconde(s) : 0.003376
M__5 = 2^5-1 = 31(2) =
31(2) × Temps en seconde(s) : 0.003448
M__6 = 2^6-1 = 63(2) =
3(1) × 3(1) × 7(1) × Temps en seconde(s) : 0.003367
M__7 = 2^7-1 = 127(3) =
127(3) × Temps en seconde(s) : 0.003398
M__8 = 2^8-1 = 255(3) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × Temps en seconde(s) : 0.003388
M__9 = 2^9-1 = 511(3) =
7(1) × 73(2) × Temps en seconde(s) : 0.003426
M__10 = 2^10-1 = 1023(4) =
3(1) × 11(2) × 31(2) × Temps en seconde(s) : 0.003433
M__11 = 2^11-1 = 2047(4) =
23(2) × 89(2) × Temps en seconde(s) : 0.003474
M__12 = 2^12-1 = 4095(4) =
3(1) × 3(1) × 5(1) × 7(1) × 13(2) × Temps en seconde(s) : 0.003518
M__13 = 2^13-1 = 8191(4) =
8191(4) × Temps en seconde(s) : 0.005621
M__14 = 2^14-1 = 16383(5) =
3(1) × 43(2) × 127(3) × Temps en seconde(s) : 0.003677
M__15 = 2^15-1 = 32767(5) =
7(1) × 31(2) × 151(3) × Temps en seconde(s) : 0.003614
M__16 = 2^16-1 = 65535(5) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × 257(3) × Temps en seconde(s) : 0.003527
M__17 = 2^17-1 = 131071(6) =
131071(6) × 1 PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER Temps en seconde(s) : 0.019437
M__18 = 2^18-1 = 262143(6) =
3(1) × 3(1) × 3(1) × 7(1) × 19(2) × 73(2) × Temps en seconde(s) : 0.003686
M__19 = 2^19-1 = 524287(6) =
524287(6) × 1 PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER Temps en seconde(s) : 0.022863
M__20 = 2^20-1 = 1048575(7) =
3(1) × 5(1) × 5(1) × 11(2) × 31(2) × 41(2) × Temps en seconde(s) : 0.003754
M__21 = 2^21-1 = 2097151(7) =
7(1) × 7(1) × 127(3) × 337(3) × Temps en seconde(s) : 0.003950
M__22 = 2^22-1 = 4194303(7) =
3(1) × 23(2) × 89(2) × 683(3) × Temps en seconde(s) : 0.003960
M__23 = 2^23-1 = 8388607(7) =
47(2) × 178481(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.012252
M__24 = 2^24-1 = 16777215(8) =
3(1) × 3(1) × 5(1) × 7(1) × 13(2) × 17(2) × 241(3) × Temps en seconde(s) : 0.003912
M__25 = 2^25-1 = 33554431(8) =
31(2) × 601(3) × 1801(4) × Temps en seconde(s) : 0.004751
M__26 = 2^26-1 = 67108863(8) =
3(1) × 2731(4) × 8191(4) × Temps en seconde(s) : 0.009366
M__27 = 2^27-1 = 134217727(9) =
7(1) × 73(2) × 262657(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.011082
M__28 = 2^28-1 = 268435455(9) =
3(1) × 5(1) × 29(2) × 43(2) × 113(3) × 127(3) × Temps en seconde(s) : 0.004298
M__29 = 2^29-1 = 536870911(9) =
233(3) × 1103(4) × 2089(4) × Temps en seconde(s) : 0.006115
M__30 = 2^30-1 = 1073741823(10) =
3(1) × 3(1) × 7(1) × 11(2) × 31(2) × 151(3) × 331(3) × Temps en seconde(s) : 0.004395
M__31 = 2^31-1 = 2147483647(10) =
2147483647(10) × 1 PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER Temps en seconde(s) : 0.067856
M__32 = 2^32-1 = 4294967295(10) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × 257(3) × 65537(5) × Temps en seconde(s) : 0.006768
M__33 = 2^33-1 = 8589934591(10) =
7(1) × 23(2) × 89(2) × 599479(6) × Temps en seconde(s) : 0.007629
M__34 = 2^34-1 = 17179869183(11) =
3(1) × 43691(5) × 131071(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.040584
M__35 = 2^35-1 = 34359738367(11) =
31(2) × 71(2) × 127(3) × 122921(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.011421
M__36 = 2^36-1 = 68719476735(11) =
3(1) × 3(1) × 19(2) × 5(1) × 7(1) × 3(1) × 3(1) × 3(1) × 13(2) × 3(1) × 37(2) × 73(2) × 109(3) × Temps en seconde(s) : 0.010154
M__37 = 2^37-1 = 137438953471(12) =
223(3) × 616318177(9) × 1 Temps en seconde(s) : 0.032471
M__38 = 2^38-1 = 274877906943(12) =
3(1) × 524287(6) × 174763(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.052345
M__39 = 2^39-1 = 549755813887(12) =
7(1) × 79(2) × 8191(4) × 121369(6) × Temps en seconde(s) : 0.021484
M__40 = 2^40-1 = 1099511627775(13) =
3(1) × 5(1) × 5(1) × 11(2) × 17(2) × 31(2) × 41(2) × 61681(5) × 1 Temps en seconde(s) : 0.011037
M__41 = 2^41-1 = 2199023255551(13) =
13367(5) × 164511353(9) × 1 Temps en seconde(s) : 0.040871
M__42 = 2^42-1 = 4398046511103(13) =
3(1) × 3(1) × 7(1) × 7(1) × 43(2) × 127(3) × 337(3) × 5419(4) × Temps en seconde(s) : 0.006254
M__43 = 2^43-1 = 8796093022207(13) =
431(3) × 9719(4) × 2099863(7) × 1 Temps en seconde(s) : 0.031486
M__44 = 2^44-1 = 17592186044415(14) =
3(1) × 5(1) × 23(2) × 89(2) × 397(3) × 683(3) × 2113(4) × Temps en seconde(s) : 0.006772
M__45 = 2^45-1 = 35184372088831(14) =
7(1) × 31(2) × 73(2) × 151(3) × 631(3) × 23311(5) × Temps en seconde(s) : 0.010162
M__46 = 2^46-1 = 70368744177663(14) =
3(1) × 47(2) × 178481(6) × 2796203(7) × 1 Temps en seconde(s) : 0.060587
M__47 = 2^47-1 = 140737488355327(15) =
2351(4) × 4513(4) × 13264529(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.043228
M__48 = 2^48-1 = 281474976710655(15) =
3(1) × 13(2) × 5(1) × 3(1) × 7(1) × 3(1) × 3(1) × 241(3) × 97(2) × 17(2) × 257(3) × 673(3) × Temps en seconde(s) : 0.014543
M__49 = 2^49-1 = 562949953421311(15) =
127(3) × 4432676798593(13) × 1 Temps en seconde(s) : 0.049894
M__50 = 2^50-1 = 1125899906842623(16) =
3(1) × 11(2) × 3(1) × 31(2) × 251(3) × 601(3) × 1801(4) × 4051(4) × Temps en seconde(s) : 0.018363
M__51 = 2^51-1 = 2251799813685247(16) =
7(1) × 103(3) × 2143(4) × 11119(5) × 131071(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.044818
M__52 = 2^52-1 = 4503599627370495(16) =
3(1) × 5(1) × 53(2) × 157(3) × 1613(4) × 2731(4) × 8191(4) × Temps en seconde(s) : 0.013494
M__53 = 2^53-1 = 9007199254740991(16) =
6361(4) × 69431(5) × 20394401(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.075092
M__54 = 2^54-1 = 18014398509481983(17) =
3(1) × 3(1) × 3(1) × 3(1) × 7(1) × 19(2) × 73(2) × 87211(5) × 262657(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.046612
M__55 = 2^55-1 = 36028797018963967(17) =
23(2) × 31(2) × 89(2) × 881(3) × 3191(4) × 201961(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.021523
M__56 = 2^56-1 = 72057594037927935(17) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × 29(2) × 43(2) × 113(3) × 127(3) × 15790321(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.027449
M__57 = 2^57-1 = 144115188075855871(18) =
7(1) × 32377(5) × 524287(6) × 1212847(7) × 1 Temps en seconde(s) : 0.103639
M__58 = 2^58-1 = 288230376151711743(18) =
3(1) × 59(2) × 233(3) × 1103(4) × 2089(4) × 3033169(7) × 1 Temps en seconde(s) : 0.024562
M__59 = 2^59-1 = 576460752303423487(18) =
179951(6) × 3203431780337(13) × 1 Temps en seconde(s) : 0.143974
M__60 = 2^60-1 = 1152921504606846975(19) =
3(1) × 3(1) × 5(1) × 5(1) × 7(1) × 11(2) × 13(2) × 31(2) × 41(2) × 61(2) × 151(3) × 331(3) × 1321(4) × Temps en seconde(s) : 0.008499
M__61 = 2^61-1 = 2305843009213693951(19) =
2305843009213693951(19) × 1 PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER Temps en seconde(s) : 0.356570
M__62 = 2^62-1 = 4611686018427387903(19) =
3(1) × 715827883(9) × 2147483647(10) × 1 Temps en seconde(s) : 3.634923
M__63 = 2^63-1 = 9223372036854775807(19) =
7(1) × 7(1) × 73(2) × 127(3) × 337(3) × 92737(5) × 649657(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.046332
M__64 = 2^64-1 = 18446744073709551615(20) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × 257(3) × 641(3) × 65537(5) × 6700417(7) × 1 Temps en seconde(s) : 0.071602
M__65 = 2^65-1 = 36893488147419103231(20) =
31(2) × 8191(4) × 145295143558111(15) × 1 Temps en seconde(s) : 0.114911
M__66 = 2^66-1 = 73786976294838206463(20) =
3(1) × 3(1) × 7(1) × 23(2) × 67(2) × 89(2) × 683(3) × 20857(5) × 599479(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.042356
M__67 = 2^67-1 = 147573952589676412927(21) =
193707721(9) × 761838257287(12) × 1 Temps en seconde(s) : 5.206143
M__68 = 2^68-1 = 295147905179352825855(21) =
3(1) × 5(1) × 137(3) × 953(3) × 131071(6) × 43691(5) × 26317(5) × Temps en seconde(s) : 0.077998
M__69 = 2^69-1 = 590295810358705651711(21) =
7(1) × 47(2) × 178481(6) × 10052678938039(14) × 1 Temps en seconde(s) : 0.126579
M__70 = 2^70-1 = 1180591620717411303423(22) =
3(1) × 11(2) × 31(2) × 43(2) × 71(2) × 127(3) × 281(3) × 86171(5) × 122921(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.048207
M__71 = 2^71-1 = 2361183241434822606847(22) =
228479(6) × 48544121(8) × 212885833(9) × 1 Temps en seconde(s) : 0.441938
M__72 = 2^72-1 = 4722366482869645213695(22) =
3(1) × 3(1) × 3(1) × 5(1) × 7(1) × 13(2) × 17(2) × 19(2) × 37(2) × 73(2) × 109(3) × 241(3) × 433(3) × 38737(5) × Temps en seconde(s) : 0.012349
M__73 = 2^73-1 = 9444732965739290427391(22) =
439(3) × 2298041(7) × 9361973132609(13) × 1 Temps en seconde(s) : 0.169009
M__74 = 2^74-1 = 18889465931478580854783(23) =
3(1) × 223(3) × 1777(4) × 25781083(8) × 616318177(9) × 1 Temps en seconde(s) : 1.688764
M__75 = 2^75-1 = 37778931862957161709567(23) =
7(1) × 31(2) × 151(3) × 601(3) × 1801(4) × 100801(6) × 10567201(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.061874
M__76 = 2^76-1 = 75557863725914323419135(23) =
3(1) × 5(1) × 229(3) × 457(3) × 525313(6) × 524287(6) × 174763(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.145446
M__77 = 2^77-1 = 151115727451828646838271(24) =
23(2) × 89(2) × 127(3) × 581283643249112959(18) × 1 Temps en seconde(s) : 0.154349
M__78 = 2^78-1 = 302231454903657293676543(24) =
3(1) × 3(1) × 7(1) × 79(2) × 2731(4) × 8191(4) × 121369(6) × 22366891(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.117375
M__79 = 2^79-1 = 604462909807314587353087(24) =
2687(4) × 202029703(9) × 1113491139767(13) × 1 Temps en seconde(s) : 2.256905
M__80 = 2^80-1 = 1208925819614629174706175(25) =
3(1) × 5(1) × 5(1) × 11(2) × 17(2) × 31(2) × 41(2) × 257(3) × 61681(5) × 4278255361(10) × 1 Temps en seconde(s) : 0.066193
M__81 = 2^81-1 = 2417851639229258349412351(25) =
7(1) × 73(2) × 2593(4) × 71119(5) × 262657(6) × 97685839(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.165829
M__82 = 2^82-1 = 4835703278458516698824703(25) =
3(1) × 83(2) × 13367(5) × 164511353(9) × 8831418697(10) × 1 Temps en seconde(s) : 0.626556
M__83 = 2^83-1 = 9671406556917033397649407(25) =
167(3) × 57912614113275649087721(23) × 1 Temps en seconde(s) : 0.293461
M__84 = 2^84-1 = 19342813113834066795298815(26) =
3(1) × 3(1) × 5(1) × 7(1) × 7(1) × 13(2) × 29(2) × 43(2) × 113(3) × 127(3) × 337(3) × 1429(4) × 5419(4) × 14449(5) × Temps en seconde(s) : 0.031094
M__85 = 2^85-1 = 38685626227668133590597631(26) =
31(2) × 131071(6) × 9520972806333758431(19) × 1 Temps en seconde(s) : 0.229431
M__86 = 2^86-1 = 77371252455336267181195263(26) =
3(1) × 431(3) × 9719(4) × 2099863(7) × 2932031007403(13) × 1 Temps en seconde(s) : 0.377058
M__87 = 2^87-1 = 154742504910672534362390527(27) =
7(1) × 233(3) × 1103(4) × 2089(4) × 4177(4) × 9857737155463(13) × 1 Temps en seconde(s) : 0.115468
M__88 = 2^88-1 = 309485009821345068724781055(27) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × 23(2) × 89(2) × 353(3) × 397(3) × 683(3) × 2113(4) × 2931542417(10) × 1 Temps en seconde(s) : 0.055248
M__89 = 2^89-1 = 618970019642690137449562111(27) =
618970019642690137449562111(27) × 1 PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER Temps en seconde(s) : 1.110623
M__90 = 2^90-1 = 1237940039285380274899124223(28) =
3(1) × 3(1) × 3(1) × 7(1) × 11(2) × 19(2) × 31(2) × 73(2) × 151(3) × 331(3) × 631(3) × 23311(5) × 18837001(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.051574
M__91 = 2^91-1 = 2475880078570760549798248447(28) =
127(3) × 911(3) × 8191(4) × 112901153(9) × 23140471537(11) × 1 Temps en seconde(s) : 2.328416
M__92 = 2^92-1 = 4951760157141521099596496895(28) =
3(1) × 5(1) × 47(2) × 277(3) × 1013(4) × 1657(4) × 178481(6) × 30269(5) × 2796203(7) × 1 Temps en seconde(s) : 0.101921
M__93 = 2^93-1 = 9903520314283042199192993791(28) =
7(1) × 2147483647(10) × 658812288653553079(18) × 1 Temps en seconde(s) : 14.295108
M__94 = 2^94-1 = 19807040628566084398385987583(29) =
3(1) × 283(3) × 2351(4) × 4513(4) × 13264529(8) × 165768537521(12) × 1 Temps en seconde(s) : 0.579194
M__95 = 2^95-1 = 39614081257132168796771975167(29) =
31(2) × 191(3) × 524287(6) × 420778751(9) × 30327152671(11) × 1 Temps en seconde(s) : 2.670889
M__96 = 2^96-1 = 79228162514264337593543950335(29) =
3(1) × 3(1) × 5(1) × 7(1) × 13(2) × 17(2) × 97(2) × 193(3) × 241(3) × 257(3) × 673(3) × 65537(5) × 22253377(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.062759
M__97 = 2^97-1 = 158456325028528675187087900671(30) =
11447(5) × 13842607235828485645766393(26) × 1 Temps en seconde(s) : 0.441701
M__98 = 2^98-1 = 316912650057057350374175801343(30) =
3(1) × 43(2) × 127(3) × 4363953127297(13) × 4432676798593(13) × 1 Temps en seconde(s) : 109.166679
M__99 = 2^99-1 = 633825300114114700748351602687(30) =
7(1) × 23(2) × 73(2) × 89(2) × 199(3) × 153649(6) × 599479(6) × 33057806959(11) × 1 Temps en seconde(s) : 0.228902
M__100 = 2^100-1 = 1267650600228229401496703205375(31) =
3(1) × 5(1) × 5(1) × 5(1) × 11(2) × 31(2) × 41(2) × 101(3) × 251(3) × 601(3) × 1801(4) × 8101(4) × 4051(4) × 268501(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.055150
M__101 = 2^101-1 = 2535301200456458802993406410751(31) =
7432339208719(13) × 341117531003194129(18) × 1 Temps en seconde(s) : 339.596614
M__102 = 2^102-1 = 5070602400912917605986812821503(31) =
3(1) × 3(1) × 7(1) × 103(3) × 307(3) × 2143(4) × 2857(4) × 6529(4) × 11119(5) × 43691(5) × 131071(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.109578
M__103 = 2^103-1 = 10141204801825835211973625643007(32) =
2550183799(10) × 3976656429941438590393(22) × 1 Temps en seconde(s) : 14.061908
M__104 = 2^104-1 = 20282409603651670423947251286015(32) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × 53(2) × 157(3) × 1613(4) × 2731(4) × 8191(4) × 858001(6) × 308761441(9) × 1 Temps en seconde(s) : 0.217423
M__105 = 2^105-1 = 40564819207303340847894502572031(32) =
7(1) × 7(1) × 31(2) × 71(2) × 127(3) × 151(3) × 337(3) × 152041(6) × 106681(6) × 29191(5) × 122921(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.116471
M__106 = 2^106-1 = 81129638414606681695789005144063(32) =
3(1) × 107(3) × 6361(4) × 69431(5) × 20394401(8) × 28059810762433(14) × 1 Temps en seconde(s) : 1.452694
M__107 = 2^107-1 = 162259276829213363391578010288127(33) =
162259276829213363391578010288127(33) × 1 PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER Temps en seconde(s) : 1.910127
M__108 = 2^108-1 = 324518553658426726783156020576255(33) =
3(1) × 3(1) × 3(1) × 3(1) × 5(1) × 7(1) × 13(2) × 19(2) × 37(2) × 73(2) × 109(3) × 87211(5) × 279073(6) × 262657(6) × 246241(6) × Temps en seconde(s) : 0.273271
M__109 = 2^109-1 = 649037107316853453566312041152511(33) =
745988807(9) × 870035986098720987332873(24) × 1 Temps en seconde(s) : 10.680712
M__110 = 2^110-1 = 1298074214633706907132624082305023(34) =
3(1) × 11(2) × 11(2) × 23(2) × 31(2) × 89(2) × 683(3) × 881(3) × 2971(4) × 3191(4) × 201961(6) × 48912491(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.114724
M__111 = 2^111-1 = 2596148429267413814265248164610047(34) =
7(1) × 223(3) × 321679(6) × 26295457(8) × 616318177(9) × 319020217(9) × 1 Temps en seconde(s) : 2.167669
M__112 = 2^112-1 = 5192296858534827628530496329220095(34) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × 29(2) × 43(2) × 113(3) × 127(3) × 257(3) × 5153(4) × 15790321(8) × 54410972897(11) × 1 Temps en seconde(s) : 0.577667
M__113 = 2^113-1 = 10384593717069655257060992658440191(35) =
3391(4) × 65993(5) × 23279(5) × 1868569(7) × 1066818132868207(16) × 1 Temps en seconde(s) : 0.453087
M__114 = 2^114-1 = 20769187434139310514121985316880383(35) =
3(1) × 3(1) × 7(1) × 571(3) × 32377(5) × 174763(6) × 1212847(7) × 524287(6) × 160465489(9) × 1 Temps en seconde(s) : 0.476220
M__115 = 2^115-1 = 41538374868278621028243970633760767(35) =
31(2) × 47(2) × 14951(5) × 4036961(7) × 178481(6) × 2646507710984041(16) × 1 Temps en seconde(s) : 0.410467
M__116 = 2^116-1 = 83076749736557242056487941267521535(35) =
3(1) × 5(1) × 59(2) × 233(3) × 1103(4) × 2089(4) × 3033169(7) × 107367629(9) × 536903681(9) × 1 Temps en seconde(s) : 1.224905
M__117 = 2^117-1 = 166153499473114484112975882535043071(36) =
7(1) × 73(2) × 79(2) × 937(3) × 8191(4) × 6553(4) × 121369(6) × 86113(5) × 7830118297(10) × 1 Temps en seconde(s) : 0.234257
M__118 = 2^118-1 = 332306998946228968225951765070086143(36) =
3(1) × 2833(4) × 37171(5) × 179951(6) × 1824726041(10) × 3203431780337(13) × 1 Temps en seconde(s) : 3.958981
M__119 = 2^119-1 = 664613997892457936451903530140172287(36) =
127(3) × 239(3) × 131071(6) × 20231(5) × 62983048367(11) × 131105292137(12) × 1 Temps en seconde(s) : 83.686294
M__120 = 2^120-1 = 1329227995784915872903807060280344575(37) =
3(1) × 3(1) × 5(1) × 5(1) × 7(1) × 11(2) × 13(2) × 17(2) × 31(2) × 41(2) × 61(2) × 151(3) × 241(3) × 331(3) × 1321(4) × 61681(5) × 4562284561(10) × 1 Temps en seconde(s) : 0.146708
M__121 = 2^121-1 = 2658455991569831745807614120560689151(37) =
23(2) × 89(2) × 727(3) × 1786393878363164227858270210279(31) × 1 Temps en seconde(s) : 0.700558
M__123 = 2^123-1 = 10633823966279326983230456482242756607(38) =
7(1) × 13367(5) × 3887047(7) × 164511353(9) × 177722253954175633(18) × 1 Temps en seconde(s) : 1.523651
M__124 = 2^124-1 = 21267647932558653966460912964485513215(38) =
3(1) × 5(1) × 5581(4) × 49477(5) × 8681(4) × 384773(6) × 715827883(9) × 2147483647(10) × 1 Temps en seconde(s) : 1.650659
M__125 = 2^125-1 = 42535295865117307932921825928971026431(38) =
31(2) × 601(3) × 1801(4) × 269089806001(12) × 4710883168879506001(19) × 1 Temps en seconde(s) : 134.247035
M__126 = 2^126-1 = 85070591730234615865843651857942052863(38) =
3(1) × 3(1) × 3(1) × 7(1) × 7(1) × 19(2) × 43(2) × 73(2) × 127(3) × 337(3) × 5419(4) × 92737(5) × 649657(6) × 77158673929(11) × 1 Temps en seconde(s) : 0.351213
M__127 = 2^127-1 = 170141183460469231731687303715884105727(39) =
170141183460469231731687303715884105727(39) × 1 PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER Temps en seconde(s) : 3.194471
M__128 = 2^128-1 = 340282366920938463463374607431768211455(39) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × 257(3) × 641(3) × 65537(5) × 274177(6) × 6700417(7) × 67280421310721(14) × 1 Temps en seconde(s) : 0.818332
M__129 = 2^129-1 = 680564733841876926926749214863536422911(39) =
7(1) × 431(3) × 9719(4) × 2099863(7) × 11053036065049294753459639(26) × 1 Temps en seconde(s) : 0.757458
M__130 = 2^130-1 = 1361129467683753853853498429727072845823(40) =
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M__131 = 2^131-1 = 2722258935367507707706996859454145691647(40) =
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M__132 = 2^132-1 = 5444517870735015415413993718908291383295(40) =
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M__133 = 2^133-1 = 10889035741470030830827987437816582766591(41) =
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M__134 = 2^134-1 = 21778071482940061661655974875633165533183(41) =
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M__136 = 2^136-1 = 87112285931760246646623899502532662132735(41) =
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M__138 = 2^138-1 = 348449143727040986586495598010130648530943(42) =
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M__139 = 2^139-1 = 696898287454081973172991196020261297061887(42) =
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M__141 = 2^141-1 = 2787593149816327892691964784081045188247551(43) =
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M__142 = 2^142-1 = 5575186299632655785383929568162090376495103(43) =
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M__143 = 2^143-1 = 11150372599265311570767859136324180752990207(44) =
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M__144 = 2^144-1 = 22300745198530623141535718272648361505980415(44) =
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M__145 = 2^145-1 = 44601490397061246283071436545296723011960831(44) =
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M__147 = 2^147-1 = 178405961588244985132285746181186892047843327(45) =
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M__148 = 2^148-1 = 356811923176489970264571492362373784095686655(45) =
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M__150 = 2^150-1 = 1427247692705959881058285969449495136382746623(46) =
3(1) × 3(1) × 7(1) × 11(2) × 31(2) × 151(3) × 251(3) × 331(3) × 601(3) × 1801(4) × 4051(4) × 100801(6) × 10567201(8) × 1133836730401(13) × 1 Temps en seconde(s) : 0.870632
M__151 = 2^151-1 = 2854495385411919762116571938898990272765493247(46) =
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M__152 = 2^152-1 = 5708990770823839524233143877797980545530986495(46) =
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M__153 = 2^153-1 = 11417981541647679048466287755595961091061972991(47) =
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M__154 = 2^154-1 = 22835963083295358096932575511191922182123945983(47) =
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M__155 = 2^155-1 = 45671926166590716193865151022383844364247891967(47) =
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3(1) × 3(1) × 5(1) × 7(1) × 13(2) × 13(2) × 53(2) × 79(2) × 157(3) × 313(3) × 1249(4) × 1613(4) × 2731(4) × 3121(4) × 8191(4) × 21841(5) × 121369(6) × 22366891(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.211030
M__157 = 2^157-1 = 182687704666362864775460604089535377456991567871(48) =
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M__160 = 2^160-1 = 1461501637330902918203684832716283019655932542975(49) =
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M__161 = 2^161-1 = 2923003274661805836407369665432566039311865085951(49) =
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M__162 = 2^162-1 = 5846006549323611672814739330865132078623730171903(49) =
3(1) × 3(1) × 3(1) × 3(1) × 3(1) × 7(1) × 19(2) × 73(2) × 163(3) × 2593(4) × 87211(5) × 262657(6) × 135433(6) × 71119(5) × 272010961(9) × 97685839(8) × 1 Temps en seconde(s) : 2.461799
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150287(6) × 704161(6) × 110211473(9) × 27669118297(11) × 36230454570129675721(20) × 1 Temps en seconde(s) : 89.678750
M__164 = 2^164-1 = 23384026197294446691258957323460528314494920687615(50) =
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M__165 = 2^165-1 = 46768052394588893382517914646921056628989841375231(50) =
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M__166 = 2^166-1 = 93536104789177786765035829293842113257979682750463(50) =
3(1) × 167(3) × 499(3) × 1163(4) × 2657(4) × 155377(6) × 13455809771(11) × 57912614113275649087721(23) × 1 Temps en seconde(s) : 96.330702
M__167 = 2^167-1 = 187072209578355573530071658587684226515959365500927(51) =
2349023(7) × 79638304766856507377778616296087448490695649(44) × 1 Temps en seconde(s) : 3.242270
M__168 = 2^168-1 = 374144419156711147060143317175368453031918731001855(51) =
3(1) × 3(1) × 5(1) × 7(1) × 7(1) × 13(2) × 17(2) × 29(2) × 43(2) × 113(3) × 127(3) × 241(3) × 337(3) × 1429(4) × 3361(4) × 5419(4) × 14449(5) × 15790321(8) × 88959882481(11) × 1 Temps en seconde(s) : 1.213377
M__169 = 2^169-1 = 748288838313422294120286634350736906063837462003711(51) =
4057(4) × 8191(4) × 6740339310641(13) × 3340762283952395329506327023033(31) × 1 Temps en seconde(s) : 2527.257952